Comment obtenir une bonne note sans se fatiguer
ou: Arithmétique et Sciences humaines

Table des matières
 
 

Les comparaisons
 
 

Rapports de grandeur

Le rapport de grandeur permet de comparer deux valeurs. Il peut s'exprimer sous forme de:

  • fraction (3/4; 1/2)
  • de pourcentage (75 %, 50 %)
  • de nombre décimal (0,75 ou 0,5)
  • et même sous forme de mots (trois contre quatre; la moitié).

    • Le rapport entre deux valeurs peut être vu dans un sens ou dans l'autre:

  • Si 1 pomme vaut 1/2 orange, alors 1 orange vaut 2 pommes. La pomme vaut la moitié d'une orange et l'orange vaut le double d'une pomme.
  • Si le trajet à travers champs est 4 fois plus court que le trajet par la route, le premier représente le quart du dernier.
  • Si 1 $CAN vaut 0,75 $US alors 1 $US vaut 1/0,75 = 1,33 = 4/3 $CAN.

    • Le rapport entre deux valeurs permet de retrouver une des valeurs à partir de l'autre:

  • Le PIB vaut 500 et la consommation vaut 3/4 (ou 75 %) du PIB: la consommation vaut (3 × 500)/4 = 375.
  • La superficie du Québec, qui est de 1,5 millions de km² environ, équivaut à une fois et demi (3/2) celle de l'Ontario. La superficie de l'Ontario est égale à 2/3 × 1,5 = 1 million de km².

    • Exercices

    L'inverse de 2 est: ?
    L'inverse de 2 est 1/2  

    L'inverse de 4/3 est: ?
    L'inverse de 4/3 est: 3/4  

    L'euro vaut 1,25 dollars. Combien vaut le dollar?
    1 / 1,25 = 0,8
    1 € = 0,80 $      

    Les 2/3 des 450 employés sont en vacances. Combien d'employés sont en vacances?
    2 × 450/3 = 300  

    Comparaisons dans le temps

    La comparaison sert souvent à mesurer l'évolution d'une valeur à travers le temps. Elle s'exprime soit sous forme de taux de croissance (variation relative entre les deux valeurs) ou soit sous forme de facteur de croissance ou d'indice (rapport entre la valeur d'arrivée et la valeur de départ). Si A est la valeur de départ et B la valeur d'arrivée, le taux de variation vaut (B – A)/A) et le facteur vaut B/A.

    Si la prime de déplacement est passée de 50 $ l'an dernier à 75 $ cette année, on peut dire que:

  • La prime a augmenté de (75 – 50)/50 = 0,5 = 50 %.
  • La prime actuelle vaut 75/50 = 1,5 fois plus que la prime précédente.
  • Si la prime précédente avait valu 100, la prime actuelle vaudrait 150.

    • Le taux de variation peut être négatif

  • La prime passe de 75 à 60: son taux de variation est de –15/60 = –25 % (elle baisse de 25 %).
  • Le dollar, qui cotait à 0,70 euros, a perdu 10 % de sa valeur: 1 $ = 0,63 €.

    • Le facteur équivaut au taux plus 1.

  • Un taux de variation de 0 % équivaut donc à un facteur de 1: multiplier par 1 revient à ajouter 0.
  • Ajouter 15 % revient à multiplier par 1,15.
  • Ajouter 100 % revient à multiplier par 2.
  • Ôter 20 % revient à multiplier par 0,8.

    • Le taux de variation est différent selon le point de comparaison.

  • Lorsque le prix passe de 100 à 125, il augmente de 25 %. Lorsqu'il redescend de 125 à 100, il diminue de 20 %.
  • Le taux de change du dollar a augmenté de 100 % par rapport à celui de peso: le peso a perdu 50 % de sa valeur par rapport au dollar.
  • Le taux de change du dollar a doublé par rapport à celui du peso: le peso a perdu la moitié de sa valeur par rapport au dollar.

    • Le facteur permet de faire des calculs que ne permet pas toujours le taux.

  • Lorsque le prix passe de 100 à 125, le second vaut 125/100 = 1,25 = 5/4 du premier. Le premier vaut donc 100/125 = 0,8 = 4/5 du second.
  • Si un téléviseur se vend 460 $, taxe de 15 % incluse, son prix avant taxe était donc de 460/1,15 = 400 $
  • Si une somme d'argent est placée à 10 % pendant trois ans, sa valeur sera multipliée par 1,1 × 1,1 × 1,1 = 1,1³ = 1,331. Elle aura donc augmenté de 33,1 %.
  • Deux réductions successives d'un prix de 20 % équivalent à une réduction globale de 36 %: si le prix valait 1, il vaut ensuite 0,8, puis 0,8 × 0,8 = 0,64.

    		•

    Homogénéité des mesures

    On ne peut comparer que ce qui est homogène: les valeurs comparées doivent être exprimées avec la même unité de mesure.

  • Le prix de l'essence est passé de 0,78 $ le gallon, en 1975, à 0,74 $ le litre en 2003. Il faut convertir les gallons en litres avant de procéder à la comparaison.
  • Le PIB nominal (exprimé en dollars de l'année en cours) est passé de 600 milliards à 720 milliards entre 2000 et 2004. Les deux valeurs ne sont pas directement comparables puisque le pouvoir d'achat du dollar a varié entretemps. Il faut d'abord obtenir des données homogènes (par exemple les deux PIB exprimés en dollars de 2004.)

    • Exercices

    Le salaire passe de 4 $ à 5 $. Quel est le taux de croissance et quel est le facteur de croissance?
    Taux: (5 – 4)/4 = 0,25 = 25 %
    Facteur: 5/4 = 1,25      

    Le taux de croissance est de –9 %. Quel est le facteur de croissance?
    Taux: –9 % = –0,09
    Facteur = Taux + 1 = –0,09 + 1 = 0,91      

    Le PIB nominal est passé de 380 à 460 milliards, mais dans le même temps les prix ont augmenté de 15 %. Peut-on affirmer que le PIB a réellement augmenté?
    Ben oui! Le second PIB vaut en réalité 400, une fois l'inflation déduite (car 460/1,15 = 400, revoir l'exemple de la taxe de vente sur cette page). Le taux de croissance réelle est donc de (400 – 380)/380 = 5,3 %, ce qui est toujours mieux que rien!  

    Les prix baissent de 10 % par an pendant 2 années consécutives. Quelle est la baisse cumulative?
    Chaque année, les prix sont multipliés par 0,9 (soit 1 – 10 %). En tout, ils sont multipliés par 0,9² = 0,81. Ce dernier chiffre représente le facteur de variation: le taux vaut donc 0,81 – 1 = –0,19 = –19 %. La baisse cumulative est de 19 %.  


    Pour usage personnel seulement
    © Renaud Bouret